Materi, Soal, dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sebelumnya, mari kita sepakati penggunaan istilah dalam materi ini dulu. Sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua disebut sistem persamaan linear-kuadrat (SPLK). Berdasarkan karakteristik dari bagian kuadratnya, SPLK dikelompokkan sebagai berikut.

SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit.

SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit.

SPLK Dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit

Bentuk umum SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk eksplisit dapat dituliskan sebagai berikut.

$\begin{cases} y & = ax + b && (\text{bagian linear}) \\ y & = px^2 + qx + r && (\text{bagian kuadrat}) \end{cases}$

dengan $a, b, p, q, r$ bilangan real dan $a, p \neq 0.$

Sistem ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusikan persamaan linear ke persamaan kuadrat, kemudian disederhanakan dan diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus ABC.

Secara umum, penyelesaian dari SPLK tersebut dapat ditentukan dengan melalui langkah-langkah berikut.

Langkah 1:

Substitusikan bagian linear $y = ax+b$ ke bagian kuadrat $y = px^2+qx+r$ diperoleh

\begin{aligned} ax + b & = px^2+qx+r \\ px^2+qx-ax+r-b & = 0 \\ px^2+(q-a)x+(r-b) & = 0 \end{aligned}

Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat satu variabel, yaitu $x$ Selesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk mencari nilai  $x$

Langkah 2:

Nilai-nilai $x$ yang didapat pada Langkah 1 tadi (jika ada) disubstitusikan ke persamaan $y=ax+b$  (agar perhitungannya lebih mudah), untuk memperoleh nilai $y$. Kita ingat bahwa nilai $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat $px^2 + (q-a)x + (r-b) = 0$ disebut akar-akar dari persamaan kuadrat itu. Banyak nilai $x$ (banyak akar) dari persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh nilai diskriminan $D = (q-a)^2-4p(r-b)$.  Dengan demikian, banyak anggota dalam himpunan penyelesaian SPLK

$\begin{cases} y = ax+b \\ y = px^2+qx + r \end{cases}$

ditentukan oleh nilai diskriminan $D$ dengan aturan berikut.

1.  Jika D>0, maka SPLK tersebut mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
2. Jika D=0, maka SPLK tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
3. Jika D<0, maka SPLK tersebut tidak mempunyai anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, dinotasikan $∅$ atau ${}$.

Anggota dari himpunan penyelesaian suatu SPLK dapat ditafsirkan secara geometris sebagai koordinat titik potong antara garis $y=ax+b$ dengan parabola $y = px^2+qx+r$. Kedudukan garis terhadap parabola itu ditentukan oleh nilai diskriminan $D$ dengan aturan berikut.

1.  Jika $D>0$, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
2. Jika $D=0, maka garis memotong parabola tepat di satu titik. Dengan kata lain, garis itu menyinggung parabola.
3. Jika $D<0 maka garis dan parabola tidak berpotongan.

Perhatikan gambar kedudukan garis  $y=ax+b$ dengan parabola $y = px^2+qx+r$ berikut agar lebih jelas.

SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit

Persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $y = f(x)$ atau $x = f(y)$. Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk $f(x, y) = 0$

Contoh persamaan dua variabel dalam bentuk implisit adalah sebagai berikut.

• $x^2+y^2+8 = 0$
• $x^2+2y^2-3x+y = 0$
• $x^2-y^2-3x+4y+9 = 0$
• $2x^2+xy+y^2+3y-4 = 0$

Secara umum, SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut.

$\begin{cases} px+qy + r = 0 & (\text{bagian linear}) \\ ax^2+by^2 + cxy + dx + ey + f = 0 & (\text{bagian kuadrat berbentuk implisit}) \end{cases}$

dengan $a, b, c, d, e, f, p, q, r$ semuanya merupakan bilangan real dan  $p, q, a, b \neq 0.$.

SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dibagi menjadi dua, yaitu bentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dan bentuk implisit yang dapat difaktorkan.

Berikut ini disajikan beberapa soal mengenai sistem persamaan linear dan kuadrat, disertai dengan pembahasannya. Semoga bermanfaat.

Soal Nomor 1

Penyelesaian dari sistem persamaan

$\begin{cases} y & = 3x-5 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-5x+7 && (\cdots 2) \end{cases}$

adalah ⋯

A. $(-2,1)$ dan $(6,13)$

B. $(-2,-1)$ dan $(6,-13)$

C. $(-2,-1)$ dan $(6, -13)$

D. $(2,-1)$ dan $(-6, 13)$

E. $(2,1)$ dan (-6, -13)

Pembahasan

Pertama, cari titik potong dari grafik kedua persamaan tersebut.

$\begin{aligned} y & = y \\ x^2-5x+7 & = 3x-5 \\ x^2-8x+12 & = 0 \\ (x-6)(x-2) & = 0 \\ x = 6~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$

Substitusi nilai $x$ ke persamaan (1), yaitu $y = 3\color{red}{x}-5$

$\begin{aligned} x = \color{blue}{6} & \Rightarrow y = 3(6)-5 = \color{blue}{13} \\ x = \color{green}{2} & \Rightarrow y = 3(2)-5 = \color{green}{1} \end{aligned}$

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $(6, 13)$ dan $(2,1).$

Jawab D