Berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasan terkait fungsi logaritma yang dipelajari saat kelas X pada mata pelajaran Matematika Peminatan. Gambar grafik yang disajikan di dalam postingan ini merupakan produk dari penggunaan aplikasi Geogebra.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Berikut ini yang termasuk fungsi logaritma adalah ....
A. $f(x) = \! ^2 \log (x+3)$
B. $f(x) = |x + 7|$
C. $f(x) = 3^{x+2}$
D. $f(x) = x^3 + x^2 + \log 8$
E. $f(x) = \log 5$
Pembahasan
Fungsi logaritma didefinisikan sebagai fungsi satu variabel dengan rumus umum $k \cdot \! ^a \log x$ dan $x > 0$. Dapat diperhatikan bahwa variabel fungsi harus terdapat pada numerus logaritma.
Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, kita dapatkan bahwa
Opsi A: fungsi logaritma
Opsi B: fungsi mutlak
Opsi C: fungsi eksponen
Opsi D: fungsi kubik
Opsi E: fungsi konstan
Jadi, yang termasuk fungsi logaritma adalah $\boxed{f(x) = \! ^2 \log (x+3)}$
Jawaban A
Soal Nomor 2
Diketahui grafik fungsi $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$. Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik
⋯
A. ${0,6}$
B. ${-3,1}$
C. ${-2,4}$
D. ${4, 12}$
E. ${6, 12}$
Pembahasan
Berdasarkan opsi yang diberikan, semua titik memiliki absis yang berbeda-beda sehingga harus diperiksa satu per satu.
Opsi A: (0,6)
Substitusi $x=0$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$\begin{aligned} g(0) & = 3 \cdot \, ^2 \log (0+4) \\ & = 3 \cdot 2 = 6 \end{aligned}$
Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik $(0, 6)$.
Opsi B: (-3, 1)
Substitusi $x=-3$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$\begin{aligned} g(-3) & = 3 \cdot \, ^2 \log (-3+4) \\ & = 3 \cdot 0 = 0 \end{aligned}$
Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik $(-3,0)$.
Opsi C: (-2, 4)
Substitusi $x=-2$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$
$\begin{aligned} g(-2) & = 3 \cdot \, ^2 \log (-2+4) \\ & = 3 \cdot 1 = 3 \end{aligned}$
Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik (-2,3).
Opsi D: (4, 12)
Substitusikan $x=4$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$\begin{aligned} g(4) & = 3 \cdot \, ^2 \log (4+4) \\ & = 3 \cdot 3 = 9 \end{aligned}$
Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik (4,9).
Opsi E: (6, 12)
Substitusi $x=6$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$\begin{aligned} g(6) & = 3 \cdot \, ^2 \log (6+4) \\ & = 3 \cdot \, ^2 \log 10 \end{aligned}$
Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik $(6, 3 \cdot \, ^2 \log 10)$.
[Jawaban A]
Soal Nomor 3
Grafik fungsi $f(x) = k \cdot \, ^3 \log x$ melalui titik (9, 10). Nilai $2k$ adalah...
A. $0$
B. $5$
C. $10$
D. $20$
E. $30$
Pembahasan
Diketahui $f(x) = k \cdot \, ^3 \log x$.
Karena grafik fungsi melalui titik (9,10), yang artinya $x=9$ dan $y = f(9) = 10$, kita peroleh
$\begin{aligned} 10 & = k \cdot \, ^3 \log 9 \\ 10 & = k \cdot 2 \\ k & = 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $\boxed{2k = 2(5) = 10}$.
Jawaban C
Soal Nomor 4
Grafik fungsi $f(x) = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (x+25)$ memotong sumbu-Y di titik...
A. $\left(\dfrac23,0\right)$
B. $\left(0, \dfrac13\right)$
C. $\left(0, \dfrac23\right)$
D. $(0,1)$
E. $\left(0, \dfrac43\right)$
Pembahasan:
Diketahui $f(x) = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (x+25)$.
Saat grafik fungsi memotong sumbu-$Y$, absis titik yang dilalui fungsi bernilai 0, ditulis $x=0$.
Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} f(0) & = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (0+25) \\ & = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log 25 \\ & = \dfrac13 \cdot 2 = \dfrac23 \end{aligned}$.
Jadi, grafik fungsi $f$ memotong sumbu-$Y$ di titik $\left(0, \dfrac23\right)$.
Jawaban C
Soal Nomor 5
Jika $f(x) = \log x^2$, maka $f(mn)$ sama dengan...
A. $\log (m+n)^2$
B. $2 \log m + \log n$
C. $2(\log m + \log n)$
D. $\log m + \log n$
E. $\log 2mn$
Pembahasan
Diketahui $f(x) = \log x^2 = 2 \log x$, sehingga $\begin{aligned} f(mn) & = 2 \log (mn) \\ & = 2(\log m + \log n) \end{aligned}$.
Jadi, $f(mn)$ sama dengan $\boxed{2(\log m + \log n)}$.
Jawaban [C]
Soal Nomor 6
Jika $f(x) = \log x$ maka nilai dari $\dfrac{f(x^a)}{f(x^b)}$ adalah ⋯
A. $\dfrac{b}{a}$
B. $\dfrac{a}{b}$
C. $ab$
D. $a + b$
E. $ab \log x$
Pembahasan
Diketahui $f(x) = \log x$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \dfrac{f(x^a)}{f(x^b)} & = \dfrac{\log x^a}{\log x^b} \\ & = \dfrac{a \cancel{\log x}}{b \cancel{\log x}} \\ & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{f(x^a)}{f(x^b)} = \dfrac{a}{b}}$
Jawaban B.
Soal Nomor 7
Jika $f(x) = 3 \cdot \! ^2 \log (3x)$, maka nilai $x$ yang membuat fungsi $f$ bernilai 0 adalah ⋯
A. $x = \dfrac19$
B. $x = \dfrac13$
C. $x = 1$
D. $x=3$
E. $x=9$
Pembahasan
Diketahui $f(x) = 3 \cdot \! ^2 \log (3x)$
Ubah $f(x)$ menjadi $0$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} 3 \cdot \! ^2 \log (3x) & = 0 \\ ^2 \log (3x) & = 0 \\ 3x & = 2^0 \\ 3x & = 1 \\ x & = \dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang membuat fungsi $f$ bernilai 0 adalah $\boxed{x = \dfrac13}$.
Jawaban B
Soal Nomor 8
Manakah dari fungsi logaritma berikut yang tergolong ke dalam fungsi turun?
A. $f(x) = \! ^3 \log x$
B. $f(x) = \! ^5 \log (x+5)$
C. $f(x) = \! ^8 \log (x^2+4x+4)$
D. $f(x) = \! ^1 \log x$
E. $f(x) = \! ^{0,5} \log x + 4$
Pembahasan
Suatu fungsi logaritma yang berbentuk $f(x) = \! ^a \log x$ akan monoton naik (disebut fungsi naik) saat $a>1$ dan monoton turun (disebut fungsi turun) saat $0<a<1$.
Dari kelima fungsi yang diberikan pada opsi, hanya opsi E yang menunjukkan fungsi logaritma dengan $0<a<1$, yaitu $a=0,5$.
jadi, $f(x) = \! ^{0,5} \log x + 4$ termasuk fungsi turun yang grafiknya sebagai berikut.
[Jawaban E]
Soal Nomor 9
Daerah asal dari fungsi logaritma $f(x) = \dfrac14 \cdot \! ^3 \log (x^2-4)$ adalah $D_f = \cdots \cdot$...
A. $\{x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}\}$
B. $\{x \mid -2 < x < 2, x \in \mathbb{R}\}$
C. $\{x \mid x \le -2~\text{atau}~x \ge 2, x \in \mathbb{R}\}$
D. $\{x \mid x > 0, x \in \mathbb{R}\}$
E. $\{x \mid x \in \mathbb{R}\}$
Pembahasan
Daerah asal fungsi logaritma ditentukan dari numerus logaritmanya, yaitu dibatasi oleh syarat bahwa nilainya harus positif.
Diketahui $f(x) = \dfrac14 \cdot \! ^3 \log (x^2-4).$
Numerus logaritma dari fungsi tersebut adalah $x^2-4$ sehingga kita tuliskan
$\begin{aligned} x^2-4 & > 0 \\ (x-2)(x+2) & > 0 \\ x < -2~\text{atau}&~x > 2 \end{aligned}$
Jadi, domain fungsi tersebut adalah
$\boxed{D_f = \{x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}\}}$
[Jawaban A]
Soal Nomor 10
Jika $f(x) = x \log x$ dan $g(x) = 10^x$ maka $g(f(2))= \cdots \cdot$
A. $24$
B. $17$
C. $4$
D. $2$
E. $0,6$
Pembahasan
Hitung $g(f(2))$ dengan menghitung $f(2)$ terlebih dahulu.
Diketahui $f(x) = x \log x$, sehingga $f(2) = 2 \log 2 = \log 2^2$
Diketahui juga $g(x) = 10^x$, sehingga
$\begin{aligned} g(f(2)) & = g(\log 2^2) \\ & = 10^{\log 2^2} \\ & = 10^{^{10} \log 4} \\ & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{g(f(2)) = 4}$
[Jawaban C]
Soal Nomor 11
Jika $f(x) = 2^{3x-5}$, maka nilai dari $f^{-1}(15) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}$
B. $\dfrac{^2 \log 3 + 15}{3}$
C. $\dfrac{^2 \log 15 + 3}{15}$
D. $\dfrac{^2 \log 3 + 15}{15}$
E. $\dfrac{^2 \log 3 + 3}{15}$
Pembahasan
Mencari nilai $f^{-1}(15)$ sama artinya dengan mencari nilai $x$ yang memenuhi persamaan
$2^{3x-3} = 15$
Dengan mengubah bentuk eksponen di atas menjadi logaritma, kita peroleh
$\begin{aligned} ^2 \log 15 & = 3x-3 \\ ^2 \log 15 + 3 & = 3x \\ \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3} & = x \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f^{-1}(15) = \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}}$
[Jawaban A]
Soal Nomor 12
Jika $f(x) = 8^{x+1}$, $g(x) = \log x^2$, dan $h(x) = x^2+8x+16$, maka rumus fungsi $f^{-1}[g(h(x))]$ adalah....
A. $^4 \log \left(\log \sqrt{x+4}\right)$
B. $^8 \log \left(\log \sqrt{x+4}\right)$
C. $^4 \log \left(\log \sqrt{x+8}\right)$
D. $^8 \log \left(\log \sqrt{x+8}\right)$
E. $^8 \log \left(\log \sqrt{x+16}\right)$
Pembahasan
Hitung dahulu $g(\color{red}{h(x)})$ dengan $h(x) = x^2+8x+16$ dan $g(x) = \log x^2$. Kita peroleh
$\begin{aligned} g(\color{red}{h(x)}) & = g(\color{red}{x^2+8x+16}) \\ & = \log (x^2+8x+16)^2 \\ & = 2 \log (x^2+8x+16) \\ & = 2 \log (x+4)^2 \\ & = 4 \log (x+4) \end{aligned}$
Kita ditanya $f^{-1}[g(h(x))] = f^{-1}(4 \log (x+4)),$ sehingga kita perlu menentukan fungsi invers $f^{-1}$ dari $f(x) = 8^{x+1}$.
Tuliskan sebagai $y = 8^{x+1}$ terlebih dahulu. Selanjutnya, didapat
$\begin{aligned} \log y & = \log 8^{x+1} \\ \log y & = (x+1) \log 8 \\ \dfrac{\log y}{\log 8} & = x+1 \\ ^8 \log y -1 & = x \end{aligned}$
Tuliskan $x$ sebagai $f^{-1}(y)$, kemudian ganti variabel $y$ dengan variabel $x$.
$\begin{aligned} f^{-1}(y) & = \! ^8 \log y-1 \\ f^{-1}(x) & = \! ^8 \log x-1 \end{aligned}$
Sekarang, kita akan mencari $f^{-1}(4 \log (x+4))$.
$\begin{aligned} f^{-1}(4 \log (x+4)) & = \! ^8 \log \left[4 \log (x+4)\right]-1 \\ & = \! ^8 \log \left[4 \log (x+4)\right]-^8 \log 8 \\ & = \! ^8 \log \left(\dfrac{4 \log (x+4)}{8}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\dfrac{\log (x+4)}{2}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\log (x+4)^{\frac12}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\log \sqrt{x+4} \right) \end{aligned}$
Jadi, rumus fungsi $f^{-1}[g(h(x))]$ adalah
$\boxed{f^{-1}[g(h(x))] = \! ^8 \log \left(\log \sqrt{x+4} \right)}$
[Jawaban B]
EmoticonEmoticon