Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma

Berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasan terkait fungsi logaritma yang dipelajari saat kelas X pada mata pelajaran Matematika Peminatan. Gambar grafik yang disajikan di dalam postingan ini merupakan produk dari penggunaan aplikasi Geogebra.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Berikut ini yang termasuk fungsi logaritma adalah ....

f (x) =^{2} log (x + 3)

$f(x) = \! ^2 \log (x+3)$

f (x) = | x + 7 |

$f(x) = |x + 7|$

f (x) = 3^{x + 2}

$f(x) = 3^{x+2}$

f (x) = x^{3} + x^{2} + log 8

$f(x) = x^3 + x^2 + \log 8$

f (x) = log 5

$f(x) = \log 5$

Pembahasan

Fungsi logaritma didefinisikan sebagai fungsi satu variabel dengan rumus umum

k \cdot^{a} log x

$k \cdot \! ^a \log x$ dan

x > 0

$x > 0$ . Dapat diperhatikan bahwa variabel fungsi harus terdapat pada numerus logaritma.

Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, kita dapatkan bahwa

Opsi A: fungsi logaritma

Opsi B: fungsi mutlak

Opsi C: fungsi eksponen

Opsi D: fungsi kubik

Opsi E: fungsi konstan

Jadi, yang termasuk fungsi logaritma adalah

f (x) =^{2} log (x + 3)

$\boxed{f(x) = \! ^2 \log (x+3)}$

Jawaban A

Soal Nomor 2

Diketahui grafik fungsi

g (x) = 3 \cdot^{2} log (x + 4)

$g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$ . Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik

⋯

0, 6

${0,6}$

- 3, 1

${-3,1}$

- 2, 4

${-2,4}$

4, 12

${4, 12}$

6, 12

${6, 12}$

Pembahasan

Berdasarkan opsi yang diberikan, semua titik memiliki absis yang berbeda-beda sehingga harus diperiksa satu per satu.

Opsi A:

0, 6

$0,6$

Substitusi

x = 0

$x=0$ pada

g (x) = 3 \cdot^{2} log (x + 4)

$g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$ , diperoleh

$\begin{aligned} g(0) & = 3 \cdot \, ^2 \log (0+4) \\ & = 3 \cdot 2 = 6 \end{aligned}$

Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik

$(0, 6)$ .

Opsi B:

$-3, 1$

Substitusi

$x=-3$ pada

$g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$ , diperoleh

$\begin{aligned} g(-3) & = 3 \cdot \, ^2 \log (-3+4) \\ & = 3 \cdot 0 = 0 \end{aligned}$

Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik

$(-3,0)$ .

Opsi C:

$-2, 4$

Substitusi

$x=-2$ pada

$g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$

$\begin{aligned} g(-2) & = 3 \cdot \, ^2 \log (-2+4) \\ & = 3 \cdot 1 = 3 \end{aligned}$

Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik

$-2,3$ .

Opsi D:

$4, 12$

Substitusikan

$x=4$ pada

$g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$ , diperoleh

$\begin{aligned} g(4) & = 3 \cdot \, ^2 \log (4+4) \\ & = 3 \cdot 3 = 9 \end{aligned}$

Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik

$4,9$ .

Opsi E:

$6, 12$

Substitusi

$x=6$ pada

$g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$ , diperoleh

$\begin{aligned} g(6) & = 3 \cdot \, ^2 \log (6+4) \\ & = 3 \cdot \, ^2 \log 10 \end{aligned}$

Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik

$(6, 3 \cdot \, ^2 \log 10)$ .

[Jawaban A]

Soal Nomor 3

Grafik fungsi

$f(x) = k \cdot \, ^3 \log x$ melalui titik

$9, 10$ . Nilai

$2k$ adalah...

$0$

$5$

$10$

$20$

$30$

Pembahasan

Diketahui

$f(x) = k \cdot \, ^3 \log x$ .

Karena grafik fungsi melalui titik

$9,10$ , yang artinya

$x=9$ dan

$y = f(9) = 10$ , kita peroleh

$\begin{aligned} 10 & = k \cdot \, ^3 \log 9 \\ 10 & = k \cdot 2 \\ k & = 5 \end{aligned}$

Dengan demikian, nilai

$\boxed{2k = 2(5) = 10}$ .

Jawaban C

Soal Nomor 4

Grafik fungsi

$f(x) = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (x+25)$ memotong sumbu-Y di titik...

A. $\left

$\dfrac23,0\right$ $

$\left(0, \dfrac13\right)$

$\left(0, \dfrac23\right)$

$(0,1)$

$\left(0, \dfrac43\right)$

Pembahasan:

Diketahui

$f(x) = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (x+25)$ .

Saat grafik fungsi memotong sumbu-

$Y$ , absis titik yang dilalui fungsi bernilai 0, ditulis

$x=0$ .

Untuk itu, kita peroleh

$\begin{aligned} f(0) & = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (0+25) \\ & = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log 25 \\ & = \dfrac13 \cdot 2 = \dfrac23 \end{aligned}$ .

Jadi, grafik fungsi

$f$ memotong sumbu-

$Y$ di titik

$\left(0, \dfrac23\right)$ .

Jawaban C

Soal Nomor 5

Jika

$f(x) = \log x^2$ , maka

$f(mn)$ sama dengan...

$\log (m+n)^2$

$2 \log m + \log n$

$2(\log m + \log n)$

$\log m + \log n$

$\log 2mn$

Pembahasan

Diketahui

$f(x) = \log x^2 = 2 \log x$ , sehingga

$\begin{aligned} f(mn) & = 2 \log (mn) \\ & = 2(\log m + \log n) \end{aligned}$ .

Jadi,

$f(mn)$ sama dengan

$\boxed{2(\log m + \log n)}$ .

Jawaban [C]

Soal Nomor 6

Jika

$f(x) = \log x$ maka nilai dari

$\dfrac{f(x^a)}{f(x^b)}$ adalah ⋯

$\dfrac{b}{a}$

$\dfrac{a}{b}$

$ab$

$a + b$

$ab \log x$

Pembahasan

Diketahui

$f(x) = \log x$

Dengan demikian, didapat

$\begin{aligned} \dfrac{f(x^a)}{f(x^b)} & = \dfrac{\log x^a}{\log x^b} \\ & = \dfrac{a \cancel{\log x}}{b \cancel{\log x}} \\ & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$

Jadi, nilai dari

$\boxed{\dfrac{f(x^a)}{f(x^b)} = \dfrac{a}{b}}$

Jawaban B.

Soal Nomor 7

Jika

$f(x) = 3 \cdot \! ^2 \log (3x)$ , maka nilai

$x$ yang membuat fungsi

$f$ bernilai 0 adalah ⋯

$x = \dfrac19$

$x = \dfrac13$

$x = 1$

$x=3$

$x=9$

Pembahasan

Diketahui

$f(x) = 3 \cdot \! ^2 \log (3x)$

Ubah

$f(x)$ menjadi

$0$ , sehingga kita peroleh

$\begin{aligned} 3 \cdot \! ^2 \log (3x) & = 0 \\ ^2 \log (3x) & = 0 \\ 3x & = 2^0 \\ 3x & = 1 \\ x & = \dfrac13 \end{aligned}$

Jadi, nilai

$x$ yang membuat fungsi

$f$ bernilai 0 adalah

$\boxed{x = \dfrac13}$ .

Jawaban B

Soal Nomor 8

Manakah dari fungsi logaritma berikut yang tergolong ke dalam fungsi turun?

$f(x) = \! ^3 \log x$

$f(x) = \! ^5 \log (x+5)$

$f(x) = \! ^8 \log (x^2+4x+4)$

$f(x) = \! ^1 \log x$

$f(x) = \! ^{0,5} \log x + 4$

Pembahasan

Suatu fungsi logaritma yang berbentuk

$f(x) = \! ^a \log x$ akan monoton naik

$disebut fungsi naik$ saat

$a>1$ dan monoton turun

$disebut fungsi turun$ saat

$0<a<1$ .

Dari kelima fungsi yang diberikan pada opsi, hanya opsi E yang menunjukkan fungsi logaritma dengan

$0<a<1$ , yaitu

$a=0,5$ .

jadi,

$f(x) = \! ^{0,5} \log x + 4$ termasuk fungsi turun yang grafiknya sebagai berikut.

[Jawaban E]

Soal Nomor 9

Daerah asal dari fungsi logaritma

$f(x) = \dfrac14 \cdot \! ^3 \log (x^2-4)$ adalah

$D_f = \cdots \cdot$ ...

$\{x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}\}$

$\{x \mid -2 < x < 2, x \in \mathbb{R}\}$

$\{x \mid x \le -2~\text{atau}~x \ge 2, x \in \mathbb{R}\}$

$\{x \mid x > 0, x \in \mathbb{R}\}$

$\{x \mid x \in \mathbb{R}\}$

Pembahasan

Daerah asal fungsi logaritma ditentukan dari numerus logaritmanya, yaitu dibatasi oleh syarat bahwa nilainya harus positif.

Diketahui

$f(x) = \dfrac14 \cdot \! ^3 \log (x^2-4).$

Numerus logaritma dari fungsi tersebut adalah

$x^2-4$ sehingga kita tuliskan

$\begin{aligned} x^2-4 & > 0 \\ (x-2)(x+2) & > 0 \\ x < -2~\text{atau}&~x > 2 \end{aligned}$

Jadi, domain fungsi tersebut adalah

$\boxed{D_f = \{x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}\}}$

[Jawaban A]

Soal Nomor 10

Jika

$f(x) = x \log x$ dan

$g(x) = 10^x$ maka

$g(f(2))= \cdots \cdot$

$24$

$17$

$4$

$2$

$0,6$

Pembahasan

Hitung

$g(f(2))$ dengan menghitung

$f(2)$ terlebih dahulu.

Diketahui

$f(x) = x \log x$ , sehingga

$f(2) = 2 \log 2 = \log 2^2$

Diketahui juga

$g(x) = 10^x$ , sehingga

$\begin{aligned} g(f(2)) & = g(\log 2^2) \\ & = 10^{\log 2^2} \\ & = 10^{^{10} \log 4} \\ & = 4 \end{aligned}$

Jadi, nilai dari

$\boxed{g(f(2)) = 4}$

[Jawaban C]

Soal Nomor 11

Jika

$f(x) = 2^{3x-5}$ , maka nilai dari

$f^{-1}(15) = \cdots \cdot$

$\dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}$

$\dfrac{^2 \log 3 + 15}{3}$

$\dfrac{^2 \log 15 + 3}{15}$

$\dfrac{^2 \log 3 + 15}{15}$

$\dfrac{^2 \log 3 + 3}{15}$

Pembahasan

Mencari nilai

$f^{-1}(15)$ sama artinya dengan mencari nilai

$x$ yang memenuhi persamaan

$2^{3x-3} = 15$

Dengan mengubah bentuk eksponen di atas menjadi logaritma, kita peroleh

$\begin{aligned} ^2 \log 15 & = 3x-3 \\ ^2 \log 15 + 3 & = 3x \\ \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3} & = x \end{aligned}$

Jadi, nilai dari

$\boxed{f^{-1}(15) = \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}}$

[Jawaban A]

Soal Nomor 12

Jika

$f(x) = 8^{x+1}$ ,

$g(x) = \log x^2$ , dan

$h(x) = x^2+8x+16$ , maka rumus fungsi

$f^{-1}[g(h(x))]$ adalah....

$^4 \log \left(\log \sqrt{x+4}\right)$

$^8 \log \left(\log \sqrt{x+4}\right)$

$^4 \log \left(\log \sqrt{x+8}\right)$

$^8 \log \left(\log \sqrt{x+8}\right)$

$^8 \log \left(\log \sqrt{x+16}\right)$

Pembahasan

Hitung dahulu

$g(\color{red}{h(x)})$ dengan

$h(x) = x^2+8x+16$ dan

$g(x) = \log x^2$ . Kita peroleh

$\begin{aligned} g(\color{red}{h(x)}) & = g(\color{red}{x^2+8x+16}) \\ & = \log (x^2+8x+16)^2 \\ & = 2 \log (x^2+8x+16) \\ & = 2 \log (x+4)^2 \\ & = 4 \log (x+4) \end{aligned}$

Kita ditanya

$f^{-1}[g(h(x))] = f^{-1}(4 \log (x+4)),$ sehingga kita perlu menentukan fungsi invers

$f^{-1}$ dari

$f(x) = 8^{x+1}$ .

Tuliskan sebagai

$y = 8^{x+1}$ terlebih dahulu. Selanjutnya, didapat

$\begin{aligned} \log y & = \log 8^{x+1} \\ \log y & = (x+1) \log 8 \\ \dfrac{\log y}{\log 8} & = x+1 \\ ^8 \log y -1 & = x \end{aligned}$

Tuliskan

$x$ sebagai

$f^{-1}(y)$ , kemudian ganti variabel

$y$ dengan variabel

$x$ .

$\begin{aligned} f^{-1}(y) & = \! ^8 \log y-1 \\ f^{-1}(x) & = \! ^8 \log x-1 \end{aligned}$

Sekarang, kita akan mencari

$f^{-1}(4 \log (x+4))$ .

$\begin{aligned} f^{-1}(4 \log (x+4)) & = \! ^8 \log \left[4 \log (x+4)\right]-1 \\ & = \! ^8 \log \left[4 \log (x+4)\right]-^8 \log 8 \\ & = \! ^8 \log \left(\dfrac{4 \log (x+4)}{8}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\dfrac{\log (x+4)}{2}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\log (x+4)^{\frac12}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\log \sqrt{x+4} \right) \end{aligned}$

Jadi, rumus fungsi

$f^{-1}[g(h(x))]$ adalah

$\boxed{f^{-1}[g(h(x))] = \! ^8 \log \left(\log \sqrt{x+4} \right)}$

[Jawaban B]