Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester [UTS] Persamaan Diferensial

Soal Nomor 1

Diberikan persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} + P(x)y = 0$

Tunjukkan bahwa jika $f$ dan $g$ merupakan penyelesaian dari PD tersebut, maka $c_1f +c_2g$ juga merupakan penyelesaian PD itu.

Pembahasan:

Karena $f$ dan $g$ merupakan solusi dari persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y = 0$ maka berlaku:

$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} + p(x)f & = 0 && (\cdots 1) \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y & = 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$

Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, akan dibuktikan bahwa $c_1f + c_2g$ juga merupakan solusi dari persamaan diferensial tersebut. Perhatikan bahwa

$\begin{aligned} & \dfrac{\text{d}(c_1f + c_2g)}{\text{d}x} + p(x)(c_1f+c_2g) \\ & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (c_1f) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (c_2g) + p(x)c_1f + p(x)c_2g \\ & = c_1\left(\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} + p(x)f\right) + c_2\left(\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x} + p(x)g\right) \\ & = c_1(0) + c_2(0) = 0 \end{aligned}$

Jadi, pernyataan tersebut telah terbukti.

 Soal Nomor 2

Diketahui persamaan diferensial $(4x+3y^2)~\text{d}x + 2xy~\text{d}y = 0$ 

Tunjukkan bahwa PD tersebut tidak eksak, kemudian carilah faktor integrasi berbentuk $x^n$ dengan $n$ bilangan bulat positif, lalu tentukan penyelesaiannya.

Pembahasan:

Langkah pertama adalah memeriksa apakah persamaan diferensial di atas eksak atau tidak. Misalkan

$M = 4x + 3y^2$

$N = 2xy$

sehingga hasil turunan parsialnya adalah

$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 6y$

$\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2y$

Karena

$\dfrac{\partial M}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N}{\partial x}$, , maka PD ini tak eksak.

Agar eksak, kita harus mencari faktor integrasi terlebih dahulu.

Faktor integrasinya berbentuk $\displaystyle e^{\int P(x)~\text{d}x}$

$P(x)$ dapat dicari dengan menggunakan cara berikut.

$P(x) = \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} – \dfrac{\partial N}{\partial x}\right)$

$P(x) = \dfrac{1}{2xy}\left(6y – 2y\right)$

$P(x) = \dfrac{1}{2xy}(4y)$

$P(x) = \dfrac{2}{x}$

Karena $P(x)$ hanya bergantung terhadap variabel $x$ [sesuai persyaratan metode PD tak eksak], maka kita dapatkan faktor integrasi

$\displaystyle e^{\int \frac{2}{x}~\text{d}x} = e^{2 \ln x} = e^{\ln x^2} = x^2$

Kalikan faktor integrasi ini ke PD semula untuk memperoleh

$\begin{aligned} (4x+3y^2)~\text{d}x + 2xy~\text{d}y & = 0 \\ x^2 (4x+3y^2)~\text{d}x + (x^2)2xy~\text{d}y & = 0 \\ (4x^3 + 3x^2y^2)~\text{d}x + 2x^3y~\text{d}y & = 0 \end{aligned}$

Misalkan

$M = 4x^3 + 3x^2y^2$

$N = 2x^3y$

Jika kita menurunkan secara parsial $M$ terhadap $y$ dan $N$ terhadap $x$, diperoleh

$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x} = 6x^2y$

Karena sama, maka PD ini eksak.

Misalkan $F=C0$ (fungsi konstan). Telah diberikan

$\dfrac{\partial F}{\partial x} =4x^3 + 3x^2y^2~~\bigstar$

dan juga

$\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^3y~~\bigstar \bigstar$

Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $x$, diperoleh

$F = x^4 + x^3y^2 + \phi(y)$

Lanjutkan: turunkan parsial kembali $F$ ini tapi sekarang terhadap $y$, diperoleh

$\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^3y + \phi'(y)$

Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$ , sehingga didapat bahwa

$\phi'(y) = 0 \Rightarrow \phi(y) = C_1$

Berarti, solusinya adalah

$F = x^4 + x^3y^2 + C_1 = C_0$

atau disederhanakan menjadi

$\boxed{x^4 + x^3y^2 = C}$

 Soal Nomor 3

Selesaikan PD $\left(\dfrac{2x-1}{y}\right)~\text{d}x + \left(\dfrac{x-x^2}{y^2}\right)~\text{d}y = 0$

Pembahasan

Dari PD di atas, kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{y} {x – x^2}$ 

sehingga diperoleh

$\begin{aligned} \left(\dfrac{2x-1}{x-x^2}\right)~\text{d}x + \left(\dfrac{y} {y^2}\right)~\text{d}y & = 0 \\ \left(\dfrac{2x-1}{x-x^2}\right)~\text{d}x + \left(\dfrac{1} {y}\right)~\text{d}y & = 0 \\ \text{Integralkan kedua}~&\text{ruas} \\ \displaystyle \int \dfrac{2x-1}{x-x^2}~\text{d}x + \int \dfrac{1} {y}~\text{d}y & = \ln C \\ -\ln (x – x^2) + \ln y & = \ln C \\ \ln (x-x^2)^{-1}y & = \ln C \\ \dfrac{y} {x-x^2} & = C \end{aligned}$

Jadi, penyelesaian dari PD tersebut adalah  $\boxed{\dfrac{y} {x-x^2} = C}$

Intermezzo:

Menghitung $\displaystyle \int \dfrac{2x-1}{x-x^2}~\text{d}x$

Dengan metode substitusi, misalkan $u = x – x^2$, sehingga $\text{d}u = (1 – 2x)~\text{d}x = -(2x – 1)~\text{d}x$, yang ekuivalen dengan  $-\text{d}u = (2x – 1)~\text{d}x$ , sehingga integralnya dapat ditulis menjadi

$\displaystyle \int \dfrac{-1}{u}~\text{d}u & {= -\ln u + C = -\ln (x – x^2) + C}$

 Soal Nomor 4

Selesaikan PD $(x^2+1)~\dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} – 4xy = x$

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Bagi kedua ruas dengan $x^2+1$ untuk mendapatkan  $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} – \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}$

Diketahui

$\begin{aligned} \displaystyle \int p(x)~\text{d}x & = \int \left(-\dfrac{4x}{x^2+1}\right)~\text{d}x \\ & = -2 \ln (x^2+1) \\ & = \ln (x^2+1)^{-2} \end{aligned}$

Dengan demikian, faktor integrasinya adalah

$e^{\int p(x)~\text{d}x}= e^{\ln (x^2+1)^{-2}} = (x^2+1)^{-2}$

Dengan demikian, persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} – \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.

$\begin{aligned} \displaystyle y &= e^{\int -p(x)~\text{d}x} \cdot \int e^{\int p(x)~\text{d}x} \cdot \dfrac{x}{x^2+1}~\text{d}x \\ & = e^{- \ln (x^2+1)^{-2}} \cdot \int (x^2 + 1)^{-2} \cdot \dfrac{x}{x^2+1}~\text{d}x \\ & = (x^2+1)^2 \cdot \displaystyle \int \dfrac{x}{(x^2+1)^3}~\text{d}x \\ & = (x^2+1)^2 \cdot \left( \dfrac{-1}{4}(x^2+1)^{-2} + C\right) = -\dfrac{1}{4} + C(x^2+1)^2 \end{aligned}$

Jadi, penyelesaian PD tersebut adalah $\boxed{y = -\dfrac14 + C(x^2+1)^2}$

Soal Nomor 5

Selesaikan PD $\dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} – \dfrac{y} {x} = -\dfrac{y^2}{x}$ 

Pembahasan:

Misalkan  $v = \dfrac{y} {x}$,  berarti $y = vx$.  Dengan demikian, PD di atas selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut.

$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} – \dfrac{y} {x} & = -\dfrac{y^2}{x} \\ \dfrac{\text{d}(vx)} {\text{d}x} – v & = -v^2x \\ \dfrac{x~\text{d}v + v~\text{d}x} {\text{d}x} – v & = -v^2x \\x~\dfrac{\text{d}v} {\text{d}x} & = -v^2x \\ \text{Kalikan kedua}~&\text{ruas dengan}~\dfrac{\text{d}x} {v^2x} \\ \dfrac{1}{v^2}~\text{d}v & = -\text{d}x \\ \text{Integralkan kedua}~& \text{ruas} \\ \displaystyle \int \dfrac{1}{v^2}~\text{d}v & = – \int \text{d}x \\ -\dfrac{1}{v} & = -x + C \\ \text{Substitusi balik}~&v = \dfrac{y}{x} \\ -\dfrac{x} {y} + x & = C \end{aligned}$

Jadi, penyelesaian PD tersebut adalah $\boxed{-\dfrac{x} {y} + x = C}$

Soal Nomor 6

 Selesaikan PD $(2x^2+y)~\text{d}x + (x^2y – x)~\text{d}y = 0$

Pembahasan:

Diberikan PD: $(2x^2+y)~\text{d}x + (x^2y-x)~\text{d}y = 0$

PD di atas berbentuk persamaan diferensial eksak. 

Pertama-tama, akan ditentukan dulu apakah PD tersebut eksak atau tidak. 

Misalkan $M = 2x^2+y$ dan $N = x^2y-x$  sehingga

$\dfrac{\partial M} {\partial y} = 1~~\text{dan}~~\dfrac{\partial N} {\partial x} = 2xy – 1$

Karena $\dfrac{\partial M} {\partial y} \neq \dfrac{\partial N} {\partial x}$ , maka PD tersebut tidak eksak. 

Untuk itu, diperlukan faktor integrasi di mana diberikan

$\begin{aligned} \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M} {\partial y} – \dfrac{\partial N} {\partial x}\right) & = \dfrac{1}{x^2y-x}(1 – (2xy-1)) \\ & = \dfrac{1}{x(xy – 1)} \cdot (-2)(xy – 1) \\ &= -\dfrac{2}{x} \end{aligned}$

Karena hanya bergantung pada variabel $x$, maka dapat kita misalkan $p(x) = -\dfrac{2}{x}$, sehingga faktor integrasinya adalah 

$\begin{aligned} F(x) & = e^{\int p(x)~\text{d}x} \\ & = e^{\int -\frac{2}{x}~\text{d}x} \\ & = e^{-2 \ln x} = e^{\ln x^{-2}} = x^{-2} \end{aligned}$ 

Kalikan faktor integrasi $x^2$ ke PD semula, sehingga diperoleh 

$\begin{aligned} x^{-2}(2x^2+y)~\text{d}x + x^{-2}(x^2y-x)~\text{d}y & = 0 \\ \left(2 + \dfrac{y} {x^2}\right)~\text{d}x + \left(y – \dfrac{1}{x}\right) & = 0 \end{aligned}$

Sekarang, misalkan $M = 2 + \dfrac{y} {x^2}$ dan $N = y – \dfrac{1}{x}$ , sehingga

 $\dfrac{\partial M} {\partial y} = \dfrac{1}{x^2}~~\text{dan}~~\dfrac{\partial N} {\partial x} = \dfrac{1}{x^2}$ dan $\dfrac{\partial M} {\partial y} = \dfrac{1}{x^2}~~\text{dan}~~\dfrac{\partial N} {\partial x} = \dfrac{1}{x^2}$

Karena telah memenuhi hubungan $\dfrac{\partial M} {\partial y}= \dfrac{\partial N} {\partial x}$, maka PD tersebut eksak. 

Ambil $\dfrac{\partial u} {\partial x} = M$ , sehingga

$\begin{aligned} u & = \displaystyle \int M~\text{d}x + \phi(y) \\ & = \int \left(2 + \dfrac{y} {x^2}\right)~\text{d}x + \phi(y) \\ & = 2x – \dfrac{y}{x} + \phi(y) \end{aligned}$

Turunkan $u$ secara parsial terhadap $y$, sehingga ditulis 

$\begin{aligned} \dfrac{\partial u} {\partial y} & = N \\ -\dfrac{1}{x} + \phi'(y) & = y – \dfrac{1}{x} \\ \phi'(y) & = y \\ \int \phi'(y)~\text{d}y & = \int y~\text{d}y \\ \phi(y) & = \dfrac{1}{2}y^2 + C \end{aligned}$

Substitusikan $\phi(y)$ ke $u$

$u = 2x – \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2}y^2 + C$

Kalikan dengan $2x$ , sehingga diperoleh $4x^2 – 2y + xy^2 + K = 0$

Jadi, penyelesaian PD tersebut adalah  $\boxed{4x^2 – 2y + xy^2 + K = 0}$