Kumpulan Soal Limit Fungsi Trigonometri

berisi kumpulan soal limit fungsi trigonometri yang sudah dilengkapi dengan pembahasannya. Teknik mengerjakan soal limit fungsi trigonometri berbeda untuk setiap soalnya. Masing-masing tipe soal mempunyai cara tertentu untuk mengerjakan. Meskipun berbeda teknik, namun tidak banyak teknik yang perlu dikuasai.

Satu pemahaman konsep teknik mengerjakan dapat digunakan untuk mengerjakan berbagai macam soal dengan tipe sejenis. Selain itu, sobat asripedia juga perlu memahami (sampai hafal jika perlu) rumus sudut rangkap fungsi trigonometri. Rumus tersebut dapat digunakan bersama-sama rumus identitas trigonometri lainnya untuk membantu memecahkan soal limit trigonometri. Selanjutnya, simak kumpulan soal limit fungsi trigonometri berbagai jenis berikut ini.

Contoh 1 – Soal Limit Fungsi Trigonometri (UN Matematika Tahun 2014)

Nilai dari limit fungsi di bawah adalah ….

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( x^{2} - 1 \right) tan \left( 2x - 2 \right) }{sin^{2} \left( x - 1 \right) } = ...$

A. 6
B. 5
C. 4
D. 2
E. 0

Pembahasan:

Pertama, kita akan coba kerjakan menggunakan substitusi seperti yang dijelaskan pada tips mengerjakan limit.

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( x^{2} - 1 \right) tan \left( 2x - 2 \right) }{sin^{2} \left( x - 1 \right) }$

$= \frac{\left( 1^{2} - 1 \right) tan \left( 2(1) - 2 \right) }{sin^{2} \left( 1 - 1 \right) }$

$= \frac{0}{0}$

Hasil akhir yang diperoleh bukan merupakan jawaban yang diharapkan, sehingga kita perlu mencari nilai limit yang tepat. Selanjutnya, gunakan metode pemfaktoran.

Jawaban: C

Contoh 2 – Limit Fungsi Trigonometri

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \; 4x}{x^{2} tan \; 2x} - \frac{2}{x^{2}}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \; 4x}{x^{2} tan \; 2x} - \frac{2 tan \; 2x}{x^{2} \cdot tan \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \; 4x - 2 tan \; 2x}{x^{2} \cdot tan \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \; 4x - 2 \frac{sin \; 2x}{cos \; 2x}}{x^{2} \cdot tan \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \; 4x \cdot cos \; 2x - 2 sin \; 2x}{x^{2} \cdot tan \; 2x \cdot cos \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ sin \; 2 \cdot 2x \cdot cos \; 2x - 2 sin \; 2x}{x^{2} \cdot tan \; 2x \cdot cos \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \left(2\cdot sin2x \cdot cos2x \right) cos \; 2x - 2 sin \; 2x}{x^{2} \cdot tan \; 2x \cdot cos \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \left(2\cdot sin2x \cdot cos^{2}2x \right) - 2 sin \; 2x}{x^{2} \cdot tan \; 2x \cdot cos \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2\cdot sin2x \left(cos^{2}2x - 1\right)}{x^{2} \cdot tan \; 2x \cdot cos \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2\cdot sin2x \left(-sin^{2}2x \right)}{x^{2} \frac{sin \; 2x}{cos \; 2x} \cdot cos \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2 \cdot sin2x \left(-sin^{2}2x \right)}{x^{2} \cdot sin \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2 \cdot sin \; 2x}{x} \cdot \frac{-sin \; x}{x} \cdot \frac{sin \; 2x}{sin \; 2x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0} 2 \cdot 2 \cdot -2 \cdot 1 = 8$

Contoh 3 – Soal Limit Fungsi Trigonometri

Tentukan nilai dari

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \; \frac{cos \; 2x}{sin \; x - cos \; x} = ...$

$A. \; \; \; \sqrt{2}$

$B. \; \; \; \frac{1}{2} \sqrt{2}$

$C. \; \; \; \frac{1}{4} \sqrt{2}$

$D. \; \; \; - \frac{1}{4} \sqrt{2}$

$E. \; \; \; - \sqrt{2}$

Pembahasan:

Soal yang diberikan pada soal dikerjakan dengan kombinasi pemfaktoran dan memanipulasi dengan identitas trigonometri. Identitas trigonometri yang digunakan adalah cosinus sudut rangkap, seperti terlihat pada persamaan di bawah.

cos 2x = cos2x – sin2x

Sekarang perhatikan proses pengerjaannya di bawah.

Jawaban: E

Contoh 4 – Soal Limit Fungsi Trigonometri

Tentukan nilai dari limit di bawah!

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{8}} \; \frac{sin^{2}2x - cos^{2}2x}{sin 2x - cos 2x} = ....$

$A. \; \; \; 0$

$B. \; \; \; \frac{1}{2}$

$C. \; \; \; \sqrt{2}$

$D. \; \; \; \frac{1}{2} \sqrt{2}$

$E. \; \; \; 1$

Pembahasan:

Jawaban: C

Contoh 5 – Soal Limit Fungsi Trigonometri

Tentukan nilai limit di bawah!

$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\left( x - 2 \right) cos \left( \pi x - 2 \pi \right) }{tan \left( 2 \pi x - 4 \pi \right)} = ...$

$A. \; \; \; 2 \pi$

$B. \; \; \; \pi$

$C. \; \; \; 0$

$D. \; \; \; \frac{1}{\pi}$

$D. \; \; \; \frac{1}{2 \pi}$

Pembahasan:

Misalkan: p = x – 2

Maka

Jawaban: E

Contoh 6 – Soal Limit Fungsi Trigonometri (Soal UN Matematika Tahun 2012)

Nilai dari

$\lim_{} \frac{1 - cos 2x}{x tan x} = ....$

A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2

Pembahasan:

Ingat kembali identitas trigonometri dari cosinus sudut rangkap: 1 – cos 2x = 2 sin2x

Nilai limit pada soal dapat diperoleh dengan melakukan transformasi menggunakan identitas trigonometri terlebih dahulu.

Jawaban: D

Contoh 7 – Soal Limit Fungsi Trigonometri

Nilai dari

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos 4x - 1}{x tan 2x} = ...$

A. 4
B. 2
C. -1
D. -2
E. -4

Pembahasan:

Perhatikan bahwa: cos 4x – 1= cos 2(2x) – 1 = – 2sin22x

Sehingga,

Jawaban: E

Contoh 8 – Soal Limit Fungsi Trigonometri (UMPTN Tahun 2001)

Tentukan hasil dari soal limit berikut

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x tan 3x}{sin^{2}6x} = ....$

$A. \; \; \; \frac{1}{2}$

$B. \; \; \; \frac{1}{3}$

$C. \; \; \; \frac{1}{6}$

$D. \; \; \; \frac{1}{12}$

$E. \; \; \; \frac{1}{18}$

Pembahasan:

Jawaban: D

Contoh 9 – Soal Limit Fungsi Trigonometri

Tentukan nilai limit dari

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x tan 2x}{1 - cos 4x} = ...$

$A. \; \; \; \frac{1}{8}$

$B. \; \; \; \frac{3}{8}$

$C. \; \; \; \frac{1}{4}$

$D. \; \; \; \frac{2}{4}$

$E. \; \; \; \frac{3}{4}$

Pembahasan:

Identitas trigonometri: 1 – cos 4x = 1 – cos 2(2x) = 2 sin22x

Sehingga,

Jawaban: D

Contoh 10 – Soal Limit Fungsi Trigonometri

Tentukan hasil dari soal limit fungsi trigonometri berikut.

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - cos 2x}{2x \cdot sin 2x} = ...$

$A. \; \; \; - \frac{2}{3}$

$B. \; \; \; - \frac{1}{3}$

$C. \; \; \; \frac{1}{2}$

$D. \; \; \; \frac{2}{3}$

$E. \; \; \; 1$

Pembahasan:

Jawaban: C

Contoh 12 – Soal Limit Fungsi Trigonometri

Tentukan nilai limit berikut.

$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1 - \sqrt{cos x}}{x^{2}}$

$A. \; \; \; \frac{1}{8}$

$B. \; \; \; \frac{3}{8}$

$C. \; \; \; \frac{1}{4}$

$D. \; \; \; \frac{2}{4}$

$E. \; \; \; \frac{3}{4}$

Pembahasan:

Teknik yang digunakan untuk mendapatkan nilai limit pada soal adalah mengalikan dengan akar sekawannya. Perhatikan proses pengerjaan di bawah.

Jawaban: C

Sekian kumpulan soal limit fungsi trigonometri disertai dengan pembahasannya. Terimakasih sudah mengunjungi asripedia (dot) com, semoga bermanfaat.